为什么样本方差除以n-1

方差的概念很容易理解，高中时候就已经讲过
$S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^2$
但是当我们进行抽样调查时，我们老师却告诉我们，公式要变成
$S*=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^2$
我们称S为样本方差（有些材料叫修正样本方差）。此时大家一定会有疑惑，为什么要除以n-1而不是n呢？
很简单的一点一定可以想到，那就是，由于抽样调查时我们试图用抽样的样本来代替总体，但肯定不完全一样，所以样本方差和总体方差肯定是不同的。不过，由于抽样具有代表性，所以我们可以认为我们抽出的样都是随机的且可以代表总体的情况，用他们的方差代替总体的方差看上去也很正常，到底为什么差了个（n-1/n）倍呢？
原因就出在X拔（样本平均值）上。X拔虽然可以代替总体平均值，但是X拔的平方却不能代替平均值的平方。所谓的代替，就是指期望是相等的。即 $S=E\overline{X}^2\neq\mu^2$ 。下面开始解释：
假设总体的平均值是μ（即总体期望，这里不考虑不同取值概率不同的情况），方差是σ平方。可以理解为每个数都是
xi = μ + ε
μ就是期望值，或者说是平均值，ε就是每个数的偏差，这些偏差的和为0，（比如有些比平均数高一点，有些低一点，最后加起来为0），平方和的平均数即方差σ平方（无论偏高还是偏低，他们的平方都是正数，所以可以衡量他们的离散程度，这也是方差的意义）。
Σεi = 0 ; Σε^2 = n* σ^2
关于期望的理解可以看下面这个公式，可以理解为“平均数”
$EX_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\mu+\epsilon)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\epsilon=\mu$
那么：
$EX_i^2=E(\mu+\epsilon)^2=E(\mu^2+\mu\epsilon+\epsilon^2)$
第一项是常数；第二项由于ε的总体期望是0，所以为0；第三项偏差平方的总体期望可以理解为Σε^2/n = σ^2。所以：
$EX_i^2=\mu^2+\sigma^2$
可见通过平方的期望就是把本来隐藏的偏差给找出来，那么我们想想X拔是否会有方差？
尽管：

$E\overline{X}=E\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i})=\mu$
但是：
$D\overline{x}=D\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}X_i=\frac{1}{n^2}\Sigma_{i=1}^{n}D{X_i}=\frac{\sigma^2}{n}$
(D就是表示方差，Dxi = σ^2）
方差知道了，平均数也知道了，那么X拔平方期望也就可以知道了，类似于上面计算Xi平方期望一样

$E\overline{X}^2=\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}$
到这里就能看出来样本平均数的平方无法替代总体的平均数平方，他们差了方差/n。

那么根据总体方差公式
$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$
我们不知道总体的期望，想要用样本的平均值代替。我们先带进去试试会怎么样，这里要注意的是，如果直接把X拔带入，那将会是个定值，因为对于每个已知的X拔都有一个特定的S。而我们要求的是建立在X拔本身是“无偏的”的基础上，即我们要考虑X拔本身存在误差，它等于μ方+n分之sigma方，我们需要用期望来表示方差。
$ES = E \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2 = E \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i^2 + \overline{X}^2 - 2X_i\overline{X})$
$=E\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i^2)+E\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\overline{X}^2)-E\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2X_i\overline{X})$

X拔与i无关，所以1/n * Σ 可以省略。又 1/n * Σ Xi 就等于X拔，所以最后两项可以合并为- E(X拔方)|
$=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\mu+\epsilon)^2-E(\overline{X}^2)$
第一项 $EX_i^2 = \mu^2 + \sigma^2$ 这里省略不写了
第二项之前已经证明了 $\inlineE\overline{X}^2=\mu^2+0+\frac{\sigma^2}{n}$
所以：

$S=\mu^2+\sigma^2-\mu^2-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{n-1}{n}\sigma^2$

即S=Sn/(n-1) = σ^2

如果学过数理统计等，可以看http://www.dutor.net/index.php/2009/10/sample-variance/comment-page-1/
更专业、具体

本人想出来的用更通俗易懂的方法：

S = Σ (Xi-X拔)^2 ,这里面 Xi= μ + ε ； X拔相当于ε/根号n的误差，这个误差的来源是因为我们知道Xi是期望为μ，方差为σ^2的数组，那么X拔其实是期望为μ，方差为σ^2/n的数组，它本身是含有误差的（很好理解，我们取不同样本，平均值接近μ但还是存在一定的误差），所以当我们做方差时如果不考虑本身误差的存在，那么做出来的S是有偏的。我们考虑了X拔的误差，则就是无偏估计。